Question

選做題在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計20分．
A選修4-1：幾何證明選講
如圖，延長⊙O的半徑OA到B，使OA=AB，DE是圓的一條切線，E是切點，過點B作DE的垂線，垂足為點C．
求證：∠ACB=∠OAC．
B選修4-2：矩陣與變換
已知矩陣A=，向量．求向量，使得A²=．
C選修4-3：坐標系與參數方程
已知橢圓C的極坐標方程為ρ²=，焦距為2，求實數a的值．
D選修4-4：不等式選講
已知函數f（x）=（x-a）²+（x-b）²+（x-c）²+（a，b．c為實數）的最小值為m，若a-b+2c=3，求m的最小值．

Answer 1

【答案】分析：A連接OE，AE，并過點A作AF⊥DE于點F，由DE是切線，知OE⊥DC，由BC⊥DE，知OE∥AF∥BC，由此能夠推導出∠ACB=∠OAC．
B由A=，知A²==，設=，則，由此能求出向量，使得A²=．
C由橢圓C的極坐標方程得到，由此能求出a．
D由f（x）=（x-a）²+（x-b）²+（x-c）²+=3（x-）²+a²+b²+c²．知x=時，f（x）取最小值a²+b²+c²，即m=a²+b²+c²，由此利用柯西不等式能求出m的最小值．
解答：解：A證明：連接OE，AE，并過點A作AF⊥DE于點F，
∵DE是圓的一條切線，E是切點，∴OE⊥DC，
又∵BC⊥DE，∴OE∥AF∥BC，
∴∠CAF=∠ACB，∠FAE=∠AEO，
∵OA=OE，∴∠AEO=∠EAO，∴∠EAO=∠FAE，
又∵點A是OB的中點，∴點F是EC的中點，
∴AE=AC，
∴∠CAF=∠FAE，
∴∠EAO=∠FAE=∠CAF，
∴∠ACB=∠OAC．
B∵A=，∴A²==，
設=，則，
∴=，∴，
解得x=-1，y=2，∴．
C∵橢圓C的極坐標方程為ρ²=，焦距為2，
∴，
由=1，得a=12．
D∵f（x）=（x-a）²+（x-b）²+（x-c）²+
=3x²-2（a+b+c）x+a²+b²+c²+
=3（x-）²+a²+b²+c²．
∴x=時，f（x）取最小值a²+b²+c²，即m=a²+b²+c²，
∵a-b+2c=3，由柯西不等式得
[1²+（-1）²+2²]•（a²+b²+c²）≥（a-b+2c）²=9，
∴m=a²+b²+c²，
當且僅當，即a=，b=-，c=時等號成立，
∴m的最小值為．
點評：本題考查與圓有關的比例線段的應用，考查矩陣與變換的應用，考查橢圓的極坐標方程，考查柯西不等式的應用，解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．