Question

【題目】已知在矩形中，，沿直線BD將△ABD折成，使得點在平面上的射影在內（不含邊界），設二面角的大小為，直線 ,與平面中所成的角分別為，則（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

由題意畫出圖形，由兩種特殊位置得到點A′在平面BCD上的射影的情況，由線段的長度關系可得三個角的正弦的大小，則答案可求．

如圖，∵四邊形ABCD為矩形，∴BA′⊥A′D，

當A′點在底面上的射影O落在BC上時，

有平面A′BC⊥底面BCD，又DC⊥BC，可得DC⊥平面A′BC，則DC⊥BA′，

∴BA′⊥平面A′DC，在Rt△BA′C中，設BA′=1，則BC=，∴A′C=1，說明O為BC的中點；

當A′點在底面上的射影E落在BD上時，可知A′E⊥BD，

設BA′=1，則，∴A′E=，BE=．

要使點A′在平面BCD上的射影F在△BCD內（不含邊界），則點A′的射影F落在線段OE上（不含端點）．

可知∠A′EF為二面角A′﹣BD﹣C的平面角θ，

直線A′D與平面BCD所成的角為∠A′DF=α，

直線A′C與平面BCD所成的角為∠A′CF=β，

可求得DF＞CF，∴A′C＜A′D，且，而A′C的最小值為1，

∴sin∠A′DF＜sin∠A′CF＜sin∠A′EO，則α＜β＜θ．

故選D．