Question

（本小題14分）

如圖4，正方體中，點E在棱CD上。
（1）求證：；
（2）若E是CD中點，求與平面所成的角；
（3）設M在上，且，是否存在點E，使平面⊥平面，若存在，指出點E的位置，若不存在，請說明理由。

Answer 1

略

解：以D為坐標原點，DA，DC，依次為軸、軸，軸正方向建立空間直角坐標系，并設正方體棱長為1,設點E的坐標為。                 ………2分
（1），
∵ ，
∴ 。                                              ………5分
（2）當E是CD中點時，
，，設平面的一個法向量是，
則由得一組解是，………7分
又，由，
從而直線與平面所成的角的正弦值是。      ………9分
（3）設存在符合題意的E點為E(0,t,0)
可得平面的一個法向量是，
平面的一個法向量是 …11分
∵ 平面⊥平面，
∴ ，
解得或（舍），                                   ………13分
故當點E是CD的中點時，平面⊥平面，      ………14分