Question

已知數列{a_n}滿足a 1=

2

5

，且對任意n∈N^*，都有

an

an+1

=

4an+2

an+1+2

．
（1）求證：數列{

1

an

}為等差數列，并求{a_n}的通項公式；
（2）令b_n=a_n•a_n+1，T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，求證：Tn＜

4

15

．

Answer 1

分析：（1）由已知可得2a_n-2a_n+1=3a_na_n+1，從而可得，

1

an+1

-

1

an

=

3

2

，從而可證數列列{

1

an

}是等差數列，可求a_n
（2）由已知可得bn=an•an+1=

2

3n+2

•

2

3n+5

=

4

3

(

1

3n+2

-

1

3n+5

)，利用裂項即可求解數列的和

解答：證明：（1）∵

an

an+1

=

4an+2

an+1+2

∴2a_n-2a_n+1=3a_na_n+1
兩邊同時除以a_na_n+1可得，

1

an+1

-

1

an

=

3

2

∴數列列{

1

an

}是以

1

a1

=

5

2

為首項，以

3

2

為公差的等差數列，
∴

1

an

=

5

2

+

3

2

(n-1)=

3n+2

2

∴a_n=

2

3n+2

解：（2）bn=an•an+1=

2

3n+2

•

2

3n+5

=

4

3

(

1

3n+2

-

1

3n+5

)
∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=

4

3

(

1

5

-

1

3n+5

)＜

4

15

點評：本題主要考查了利用數列的 遞推公式求解數列的通項公式，數列的裂項求和方法的應用，屬于基礎試題