Question

（08年十校聯考） （14分） 已知點

（1）求軌跡E的方程；

（2）若直線過點且與軌跡交于兩點，

①無論直線繞點怎樣轉動，在軸上總存在定點，使恒成立，求實數的值；

②過作直線的垂線,求的取值范圍。

Answer 1

解析：（1）由知，點的軌跡是以為焦點的雙曲線右支，

由得，故軌跡的方程為                  3分

（2）當直線的斜率存在時，設直線方程為

與雙曲線方程聯立消去得：

∴，解得                                                                       5分

①

∵，∴，

故得對任意的恒成立，

∴，解得，∴當時，              8分

當直線的斜率不存在時，由及知結論也成立

綜上，當時，                                                                                 9分

②∵，∴直線是雙曲線右準線，

由雙曲線定義得

∴

∵，∴，故

注意到直線的斜率不存在時，，此時

綜上，                                                                                                             14分