Question

【題目】在棱長為a的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分別是AB、BC的中點，EF與BD交于點G，M為棱BB1上一點．
（1）證明：EF∥平面 A1C1D；
（2）當B1M：MB的值為多少時，D1M⊥平面 EFB1 ， 證明之；
（3）求點D到平面 EFB1的距離．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵E、F分別是AB、BC的中點，∴EF∥AC，又AC∥A1C1，

∴EF∥A1C1，而AC平面 A1C1D，EF平面 A1C1D，∴EF∥平面AC1D1

（2）解：當B1M：MB=1時，D1M⊥平面EFB1，證明如下：

∵B1M：MB=1，∴A1M⊥B1E．

又A1D1⊥平面AA1BB1，∴A1D1⊥B1E，∴B1E⊥平面A1MD，∴B1E⊥D1M ①．

又EF⊥平面DD1B1B，∴EF⊥D1M ②，又EF∩B1E=E ③，

∴由①②③可得D1M⊥平面EFB1

（3）解：設點D到平面EFB1的距離d，∵ ，

∴ ，即 （ EFB1G ）= a（ EFDG），即dB1G=aDG，

∴d= a=a

【解析】（1）根據EF∥AC、AC∥A1C1 證得EF∥A1C1 ， 再利用直線和平面平行的判定定理證得平面 EF∥A1C1D．（2）當B1M：MB的值為1時，D1M⊥平面 EFB1 ． 先證明B1E⊥D1M，再證明EF⊥D1M，再結合EF∩B1E=E，從而證得D1M⊥平面 EFB1 ． （3）設點D到平面 EFB1的距離為d，根據 ，求得d的值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關知識，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．