Question

【題目】已知f（x）=x2﹣ax，g（x）=lnx，h（x）=f（x）+g（x）
（1）若f（x）≥g（x）對于公共定義域內的任意x恒成立，求實數a的取值范圍；
（2）設h（x）有兩個極值點x1 ， x2 ， 且x1∈（0， ），若h（x1）﹣h（x2）＞m恒成立，求實數m的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：）f（x）≥g（x）對于公共定義域內的任意x恒成立x2﹣ax﹣lnx≥0恒成立，x＞0a≤ ，x＞0．

令u（x）= ，x＞0，則u′（x）=1﹣ = ，

當x=1時，x2+lnx﹣1=0；當x＞1時，u′（x）＞0，此時函數u（x）單調遞增；當0＜x＜1時，u′（x）＜0，此時函數u（x）單調遞減．

因此當x=1時，函數u（x）取得極小值即最小值，u（1）=1．

∴實數a的取值范圍是（﹣∞，1]

（2）解：由題意知道：h（x）=x2﹣ax+lnx．則 = （x＞0），

所以方程2x2﹣ax+1=0，（x＞0）有兩個不相等的實數根x1，x2，且 ，

又∵ ，∴ ∈（1，+∞），且 ，（i=1，2），

而h（x1）﹣h（x2）= ﹣ = ﹣

= + = ﹣ + = ，（x2＞1）

設u（x）= （x＞1），則u′（x）= ≥0，

∴u（x）＞u（1）= ，即h（x1）﹣h（x2）＞ 恒成立，

因此 ．

∴實數m的最大值為 ﹣ln2

【解析】（1）f（x）≥g（x）對于公共定義域內的任意x恒成立x2﹣ax﹣lnx≥0恒成立，x＞0a≤ ，x＞0．令u（x）= ，利用導數研究其單調性極值與最值即可得出．（2）由題意知道：h（x）=x2﹣ax+lnx．則 = （x＞0），所以方程2x2﹣ax+1=0，（x＞0）有兩個不相等的實數根x1 ， x2 ， 且 ，可得 ∈（1，+∞），且 ，（i=1，2），而h（x1）﹣h（x2）= ，（x2＞1）設u（x）= （x＞1），利用導數研究其單調性極值與最值即可得出．