Question

【題目】如圖，在四棱錐S﹣ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，CD=3AB，平面SAD⊥平面ABCD，M是線段AD上一點，AM=AB，DM=DC，SM⊥AD． （Ⅰ）證明：BM⊥平面SMC；
（Ⅱ）若SB與平面ABCD所成角為 ，N為棱SC上的動點，當二面角S﹣BM﹣N為 時，求 的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：∵平面SAD⊥平面ABCD，SM⊥AD ∴SM⊥平面ABCD，又BM平面ABCD
∴SM⊥BM
又AM=AB，DM=DC
∴∠BMA=∠DMC= ，
∴∠BMC= ，即CM⊥BM，
又SM平面SMC，MC平面SMC，SM∩MC=M，
∴BM⊥平面SMC．
（Ⅱ）∵SM⊥平面ABCD，∴∠SBM為SB與平面ABCD所成的角，
∴∠SBM= ．∴SM=BM．
由（1）得BM⊥平面SMC，∵MN平面SMC，
∴BM⊥MN，又BM⊥SM，
∴∠SMN為二面角S﹣BM﹣N的平面角．即∠SMN= ．
設AB=1，則SM=BM= ，DM=DC=3，∴MC=3 ．
∴SC= =2 ．sin∠MSN= ．cos∠MSN= ．
∴sin∠SNM=sin（∠MSN+∠SMN）= = ．
在△SMN中，由正弦定理得 = ，
∴SN= = ．
∴ ，∴ ．
【解析】（I）利用平面幾何知識證明BM⊥MC，結合SM⊥平面ABCD可得SM⊥BM，于是BM⊥平面SMC；（II）設AB=1，利用∠SBM= ，∠SMN= 可求出SM，SC，在△SMN中使用正弦定理求出SN，即可得出 的值．
【考點精析】掌握直線與平面垂直的判定是解答本題的根本，需要知道一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想．