Question

【題目】“金鑲玉”是北京奧運會的獎牌設計所采用的式樣,喻示中國傳統文化中的“金玉良緣”,體現了中國人對奧林匹克精神的禮贊和對運動員的褒獎.它的設計方案,創意十分新穎,突破了以往任何一屆奧運會獎牌設計單一材質的傳統,又融入了典型的中國文化元素,是中國文化與體育精神完美結合的載體.現有一矩形玉片,為毫米,為32毫米,為的中點.現要開槽鑲嵌金絲,將其加工為鑲金工藝品,如圖,金絲部分為優弧和線段其中優弧所在圓的圓心為,圓與矩形的邊分別相切于點以及點在線段上(在的左側),分別于圓相切于點且.若優弧部分鑲嵌的金絲每毫米造價為元(),線段部分鑲嵌的金絲每毫米造價為元.記銳角鑲嵌金絲的總造價為元.

（1）試表示出關于的函數并寫出的范圍;

（2）當鑲嵌金絲的總造價最低時,求出四邊形的面積.

Answer 1

【答案】（1），；（2）.

【解析】

(1)用分別求出優弧的長以及的長，即可求出的表達式.當 重合時， 取最小.

(2)求出，運用導數的思想，求出取最小值時的的值，進而求出的長，根據梯形的面積公式即可求.

(1)解：如圖，過點作的垂線,垂足為，過作的垂線，垂足為.

由圓與矩形相切可知,圓的半徑為16，

則，

，

因為與圓相切，切點為，所以，則，

所以，

即，

.

因為優弧的圓心角為，所以優弧的長為，

所以

.

考慮臨界狀態,當 三點重合時， 為直角三角形，其中，

，即.

(2)解：由(1)知

，

其中.

令，得或(舍去).

因為為銳角，所以.

當 時,，則單調遞減；

當 時,，則單調遞增即當時,，取最小值.

此時，

.