Question

【題目】在如圖所示的三棱錐中，是邊長為2的等邊三角形，，是的中位線，為線段的中點.

（1）證明：.

（2）若二面角為直二面角，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）如圖，由中位線可得，取的中點為，取的中點，連接，可證平面，從而可證.

（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，計算出平面的法向量和平面的法向量的夾角的余弦值后可得二面角的余弦值.

（1）如圖，取的中點為，取的中點，連接.

因為是邊長為2的等邊三角形，，所以.

因為，故，故.

因為，所以且，所以.

因為，故，所以.

因為，平面,平面，故平面，

因為平面，.

因為，故，所以.

（2）由（1）可得，

所以為二面角的平面角，

因為二面角為直二面角，所以即.

建立如圖所示的空間直角坐標系，

則.

故，，.

設平面的法向量為，

則即，故，取，則，

所以.

設平面的法向量為，

則即，取，則，

故，

所以，

因為二面角的平面角為銳角，

故二面角的余弦值為.