Question

某校內有一塊以O為圓心，R（R為常數，單位為米）為半徑的半圓形（如圖）荒地，該校總務處計劃對其開發利用，其中弓形BCDB區域（陰影部分）用于種植學校觀賞植物，△OBD區域用于種植花卉出售，其余區域用于種植草皮出售．已知種植學校觀賞植物的成本是每平方米20元，種植花卉的利潤是每平方米80元，種植草皮的利潤是每平方米30元．
（1）設∠BOD=θ（單位：弧度），用θ表示弓形BCDB的面積S_弓=f（θ）；
（2）如果該校總務處邀請你規劃這塊土地，如何設計∠BOD的大小才能使總利潤最大？并求出該最大值．
（參考公式：扇形面積公式S=

1

2

R²θ=

1

2

Rl，l表示扇形的弧長）

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用,已知三角函數模型的應用問題

專題：導數的綜合應用

分析：（1）由S_弓=S_扇-S_△，利用扇形及三角形面積公式即得；
（2）由題意列出函數關系式，利用導數判斷函數單調性求得最大值即可．

解答： 解：（1）S_扇=

1

2

R²θ，S_△OBD=

1

2

R²sinθ，
S_弓=f（θ）=

1

2

R2(θ-sinθ)．
（2）設總利潤為y元，種植草皮利潤為y₁元，種植花卉利潤為y₂，種植學校觀賞植物成本為y₃，
y₁=30（

1

2

πR²-

1

2

R²θ），y₂=

1

2

R²sinθ•80，y₃=

1

2

R²（θ-sinθ）•20，
∴y=y₁+y₂-y₃=30（

1

2

πR²-

1

2

R²θ）+

1

2

R²sinθ•80-

1

2

R²（θ-sinθ）•20
=5R²[3π-（5θ-10sinθ）]，
設g（θ）=5θ-10sinθ  θ∈（0，π）．
∴g′（θ）=5-10cosθ
∴g′（θ）＜0，cosθ＞

1

2

，g（θ）在θ∈（0，

π

3

）上為減函數；
g′（θ）＞0，cosθ＜

1

2

，g（θ）在θ∈（

π

3

，π）上為增函數；
當θ=

π

3

時，g（θ）取到最小值，
此時總利潤最大：y=5R²[3π-（5θ-10sinθ）]=5R²（

4π

3

+5

3

）．
答：所以當園林公司把扇形的圓心角設計成

π

3

時，總利潤取最大值5R²（

4π

3

+5

3

）．

點評：本題主要考查導數在實際問題中的應用，考查利用導數研究函數的單調性、最值等問題，屬中檔題．