Question

如圖所示，一條直角走廊寬為a米．現有一轉動靈活的平板車，其平板面為矩形，它的寬為b（0＜b＜a）米．
（1）若平板車卡在直角走廊內，且∠CAB=θ，試求平板面的長l．
（2）若平板車要想順利通過直角走廊，其長度不能超過多少米？

Answer 1

考點：已知三角函數模型的應用問題

專題：綜合題,三角函數的求值

分析：（1）設矩形為ABEF，直線EF分別交直線AC，BC于M，N，過點D作DP⊥AC于P，過點D作DQ⊥BC于Q，求出DM，DN，MF，EN，即可求平板面的長l．
（2）換元，確定函數的單調性，即可得出結論．

解答： 解：（1）如圖，設矩形為ABEF，直線EF分別交直線AC，BC于M，N，過點D作DP⊥AC于P，過點D作DQ⊥BC于Q，則DM=

a

sinθ

，DN=

a

cosθ

MF=

b

tanθ

，EN=btanθ
所以l=DM+DN-MF-EN=

a

sinθ

+

a

cosθ

-btanθ-

b

tanθ

=

a(sinθ+cosθ)-b

sinθcosθ

（2）設t=sinθ+cosθ=

2

sin(θ+

π

4

)∈(1，

2

]，
則l=

2at-2b

t2-1

=

2a

t+1

+

2a-2b

t2-1

因為函數y=

2a

t+1

和y=

2a-2b

t2-1

在區間(1，

2

]上均為減函數
所以l=

2at-2b

t2-1

=

2a

t+1

+

2a-2b

t2-1

在(1，

2

]上單調遞減
所以lmin=

2a

2 +1

+2a-2b=2

2

a-2b
故平板車的長度不能超過2

2

a-2b米

點評：本題考查利用數學知識解決實際問題，考查三角函數知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．