Question

【題目】已知離心率為的橢圓經過點.

(1)求橢圓的方程；

(2)薦橢圓的右焦點為，過點的直線與橢圓分別交于，若直線、、的斜率成等差數列，請問的面積是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)；(2)是，

【解析】

(1)根據及可得，再將點代入橢圓的方程與聯立解出，即可求出橢圓的方程；

(2) 可設所在直線的方程為，，，，將直線的方程與橢圓的方程聯立，用根與系數的關系求出，然后將直線、、的斜率、、分別用表示，利用可求出，從而可確定點恒在一條直線上，結合圖形即可求出的面積．

(1)因為橢圓的離心率為，所以，即，

又，所以，①

因為點在橢圓上，所以，②

由①②解得，所以橢圓C的方程為．

(1)可知，，可設所在直線的方程為，

由，得，

設，，，則，，

設直線、、的斜率分別為、、，

因為三點共線，所以，即，

所以，

又，

因為直線、、的斜率成等差數列，所以，

即，化簡得，即點恒在一條直線上，

又因為直線方程為，且，

所以是定值.