Question

橢圓兩焦點為F₁（-3，0），F₂（3，0），P在橢圓上，若△PF₁F₂的面積最大值為12，則該橢圓的離心率是

3

5

．

Answer 1

分析：由題意得c=3，根據橢圓的性質得當點P落在短軸的端點時，△PF₁F₂的面積最大，結合題意解出b=4，再用平方關系算出a的值．最后根據橢圓離心率公式，即可算出本題的答案．

解答：解：∵橢圓兩焦點為F₁（-3，0），F₂（3，0），
∴橢圓的焦距2c=|F₁F₂|=6
∵P在橢圓上，△PF₁F₂的面積最大值為12，
∴當點P落在短軸的端點時，△PF₁F₂的面積S=

1

2

×|F₁F₂|×b=12
即3b=12，得b=4，所以a=

b2+c2

=5
因此，該橢圓的離心率是e=

c

a

=

3

5

故答案為：

3

5

點評：本題給出橢圓的焦距和焦點三角形面積的最大值，求橢圓的離心率．著重考查了橢圓的標準方程與簡單幾何性質等知識，屬于中檔題．