Question

若橢圓兩焦點(diǎn)為F₁（-4，0），F(xiàn)₂（4，0）點(diǎn)P在橢圓上，且△PF₁F₂的面積的最大值為12，則此橢圓的方程是

x2

25

+

y2

9

=1

．

Answer 1

分析：先設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），表示出△PF₁F₂的面積，要使三角形面積最大，只需|y|取最大，因?yàn)镻點(diǎn)在橢圓上，所以當(dāng)P在y軸上，此時(shí)|y|最大，故可求．

解答：解：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則S△PF1 F2=

1

2

|F1F2||y|=4 |y|，
顯然當(dāng)|y|取最大時(shí)，三角形面積最大．因?yàn)镻點(diǎn)在橢圓上，所以當(dāng)P在y軸上，此時(shí)|y|最大，所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，±3），所以b=3．∵a²=b²+c²，所以a=5
∴橢圓方程為

x2

25

+

y2

9

=1．
故答案為

x2

25

+

y2

9

=1

點(diǎn)評：本題的考點(diǎn)是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，主要考查待定系數(shù)法求橢圓的方程，關(guān)鍵是利用△PF₁F₂的面積取最大值時(shí)，只需|y|取最大