Question

已知m∈R，函數f(x)＝mx－lnx，g(x)＝＋lnx．

(1)求g(x)的極小值；

(2)若y＝f(x)－g(x)在[1，＋∞)上為單調增函數，求m的取值范圍；

(3)設h(x)＝，若在[1，e)(e是自然對數的底數)上至少存在一個x₀，使得f(x₀)－g(x₀)＞h(x₀)成立，求m的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(1)由題意，，，∴當時，；當時，，所以，在上是減函數，在上是增函數，故；4分

　　(2)，，由于在內為單調增函數，所以在上恒成立，即在上恒成立，故，所以的取值范圍是．9分

　　(3)構造函數，

　　當時，由得，，，所以在上不存在一個，使得．

　　當時，，因為，所以，，所以在上恒成立，故在上單調遞增，，所以要在上存在一個，使得，必須且只需，解得，故的取值范圍是．14分

　　另法：(Ⅲ)當時，．

　　當時，由，得，令，則，所以在上遞減，．

　　綜上，要在上存在一個，使得，必須且只需．14分