Question

（2013•大連一模）已知m∈R，函數f（x）=mx²-2e^x．
（Ⅰ）當m=2時，求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若f（x）有兩極值點a，b（a＜b），（�。┣髆的取值范圍；（ⅱ）求證：-e＜f（a）＜-2．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當m=2時求導數f′（x）=2（2x-e^x），再令g（x）=2x-e^x，利用導數可求出g（x）的最大值，由最大值可知g（x）的符號，從而得到f′（x）的符號，由此即可求得f（x）的單調區間；
（Ⅱ）（i）若f（x）有兩個極值點a，b（a＜b），則a，b是方程f'（x）=2mx-2e^x=0的兩不等實根．易知x≠0，從而轉化為m=

ex

x

有兩不等實根，令h(x)=

ex

x

，利用導數可求得h（x）的取值范圍，從而得到m的范圍；（ii）由f（a）=ma²-2e^a及f'（a）=2ma-2e^a=0，得f（a）=e^a（a-2），令g（x）=f′（x），根據g（0）=-2＜0，g（1）=2（m-e）＞0可求得a的范圍，設φ（x）=e^x（x-2）（0＜x＜1），利用導數易判斷φ（x）的單調性，根據單調性可得φ（1）＜φ（a）＜φ（0），代入值即可得到結論；

解答：解：（Ⅰ）m=2時，f（x）=2x²-2e^x，f'（x）=4x-2e^x=2（2x-e^x）．
令g（x）=2x-e^x，g'（x）=2-e^x，
當x∈（-∞，ln2）時，g'（x）＞0，x∈（ln2，+∞）時，g'（x）＜0，
∴g（x）≤g（ln2）=2ln2-2＜0，
∴f'（x）＜0，
∴f（x）的單調減區間是（-∞，+∞）．
（Ⅱ）（i）若f（x）有兩個極值點a，b（a＜b），
則a，b是方程f'（x）=2mx-2e^x=0的兩不等實根．
∵x=0顯然不是方程的根，∴m=

ex

x

有兩不等實根．
令h(x)=

ex

x

，則h′(x)=

ex(x-1)

x2

，
當x∈（-∞，0）時，h'（x）＜0，h（x）單調遞減，當x∈（0，1）時，h'（x）＜0，h（x）單調遞減，x∈（1，+∞）時，h'（x）＞0，h（x）單調遞增，
要使m=

ex

x

有兩不等實根，應滿足m＞h（1）=e，
∴m的取值范圍是（e，+∞）．
（ii）∵f（a）=ma²-2e^a，且f'（a）=2ma-2e^a=0，
∴f(a)=

ea

a

•a2-2ea=a•ea-2ea=ea(a-2)，
令g（x）=f′（x）=2mx-2e^x，g′（x）=2（m-e^x），
∵g（0）=-2＜0，g（x）在區間（0，lnm）上單調遞增，g（x）在（lnm，+∞）上遞減，g（1）=2（m-e）＞0，∴a∈（0，1），
設φ（x）=e^x（x-2）（0＜x＜1），則φ'（x）=e^x（x-1）＜0，φ（x）在（0，1）上單調遞減，
∴φ（1）＜φ（a）＜φ（0），即-e＜f（a）＜-2．

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性、最值，考查學生綜合運用知識解決問題的能力，根據需要靈活構造函數是解決本題的關鍵所在，注意總結歸納．