Question

已知m∈R，函數f（x）=mx-

m-1

x

-lnx，g(x)=

1

2

+lnx
（I）求g（x）的極小值；
（Ⅱ）若y=f（x）-g（x）在[1，+∞）上為單調增函數，求實數m的取值范圍；
（Ⅲ）證明：

ln2

2

+

ln3

3

+

ln4

4

+…+

lnn

n

＜

n2

2(n+1)

(n∈N*)．

Answer 1

分析：（I）確定函數g（x）的定義域為（0，+∞），求導函數，確定函數的單調性，從而可求函數的極小值；
（Ⅱ）求導函數，y=f（x）-g（x）在[1，+∞）上為單調增函數，轉化為y′=m+

m

x2

-

2

x

≥0在[1，+∞）上恒成立，分離參數，利用基本不等式求最值，即可求實數m的取值范圍；
（Ⅲ）由（Ⅱ）整理得，

lnx

x

≤

1

2

(1-

1

x2

)．再利用放縮法證明即可得到

ln2

2

+

ln3

3

+

ln4

4

+…+

lnn

n

＜

n2

2(n+1)

．

解答：解：（Ⅰ）函數g（x）的定義域為（0，+∞）.g′(x)=-

1

x2

+

1

x

=

x-1

x2

．
當x∈（0，1），g'（x）＜0，當x∈（1，+∞），g'（x）＞0．
∴x=1為極小值點．極小值g（1）=1．…（4分）
（Ⅱ）∵y=mx-

m-1

x

-

1

x

-2lnx=mx-

m

x

-2lnx．
∴y′=m+

m

x2

-

2

x

≥0在[1，+∞）上恒成立，即m≥

2x

x2+1

在x∈[1，+∞）上恒成立．
又

2x

x2+1

=

2

x+ 1 x

≤1，所以m≥1．
所以，所求實數m的取值范圍為[1，+∞）..…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ），取m=1，設h(x)=f(x)-g(x)=x-

1

x

-2lnx≥h(1)=0，
則2lnx≤x-

1

x

，即

lnx

x

≤

1

2

(1-

1

x2

)．
于是

lnn

n

≤

1

2

(1-

1

n2

)（n∈N^*）．
∴

ln1

1

+

ln2

2

+

ln3

3

+…+

lnn

n

≤

1

2

[n-(

1

12

+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

)]
＜

1

2

[n-(

1

1•2

+

1

2•3

+

1

3•4

+…+

1

n(n+1)

)]
=

1

2

[n-(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)]
=

1

2

(n-1+

1

n+1

)=

n2

2(n+1)

．
所以

ln2

2

+

ln3

3

+

ln4

4

+…+

lnn

n

＜

n2

2(n+1)

（n∈N^*）．…（14分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與極值，考查恒成立問題，考查不等式的證明，分離參數，確定函數的最值是關鍵．