Question

在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知點(diǎn)，是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，直線、斜率之積為.
(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)作直線與軌跡交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為,求直線的斜率的取值范圍.

Answer 1

（1）（2）

(Ⅰ)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，依題意，有
 .               ………………… 3分
化簡(jiǎn)并整理，得
.
∴動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程是.          ………………… 5分
(Ⅱ)解法一：依題意，直線過(guò)點(diǎn)且斜率不為零，故可設(shè)其方程為, ………6分
由方程組
  消去，并整理得
       
設(shè),,則
  ，……………………………………………………… 8分
∴
∴,
,          …………………………………………… 10分
(1)當(dāng)時(shí)，；          …………………………………………… 11分
(2)當(dāng)時(shí),


.
.
且 .               ………………………………………… 13分
綜合(1)、(2)可知直線的斜率的取值范圍是：.……………… 14分
解法二：依題意，直線過(guò)點(diǎn)且斜率不為零.
(1)    當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，此時(shí)，；  …………6分
(2)    當(dāng)直線的斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)直線方程為,  …………7分
由方程組
  消去，并整理得
       
設(shè),,則
  ，……………………………………………………… 8分
∴
,
,             ………………… 10分

.
.
且 .               ………………………………………… 13分
綜合(1)、(2)可知直線的斜率的取值范圍是：.……………… 14分