Question

已知定義在集合A上的兩個函數f（x）=x²+1，g（x）=4x+1．
（1）若A={x|0≤x≤4}，x∈R，分別求函數f（x），g（x）的值域；
（2）若對于集合A中的任意一個z，都有f（x）=g（x），求集合A

Answer 1

解：（1）∵函數f（x），g（x）在區間[0，4]上都為單調增函數，
∴函數f（x），g（x）在區間[0，4]上的值域分別都為[1，17]．
（2）由f（x）=g（x），得x²+1=4x+1
解得x=4，或x=0
由于對于集合A中的任意一個x，都有f（x）=g（x），∴A⊆{0，4}，且A≠∅
∴集合A可以是{0}，或{4}或{0，4}，
分析：（1）由函數f（x），g（x）在區間[0，4]上都為單調增函數，易得函數f（x），g（x）在區間[0，4]上的值域．
（2）由f（x）=g（x）可得x=4，或x=0，再由對于集合A中的任意一個x，都有f（x）=g（x），可知集合A是{0，4}的子集且不是空集．
點評：本題主要考查一次函數、二次函數求值域及集合的關系．注意研究值域首先要確定單調性．