Question

（本小題滿分14分）已知橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合，P為橢圓與拋物線的一個公共點，且|PF|=2，傾斜角為的直線過點.
（1）求橢圓的方程；
（2）設橢圓的另一個焦點為，問拋物線上是否存在一點，使得與關于直線對稱，若存在，求出點的坐標，若不存在，說明理由.

Answer 1

（1）；
（2）拋物線上存在一點，使得與關于直線對稱.

試題分析：(1)設P(x,y),因為|PF|=2,根據焦半徑公式可求出x=1,代入拋物線方程可求點P的坐標.
再根據橢圓的定義：,求出a,已知c=1,從而可求出,故可得橢圓的方程.
（2）先求出直線的方程為，即,再求出橢圓的另一個焦點為,可根據點關于直線對稱點的求法求出點F₁關于直線l的對稱點M的坐標，然后代入拋物線方程判定點M是否在拋物線上，從而得到結論.
（1）拋物線的焦點為，………………………1分
設P(x,y)則|PF|=，故x=1，y=…………………3分
∴   ，     …………………5分
∴    …………………6分
∴  該橢圓的方程為     …………………7分
（2）∵ 傾斜角為的直線過點，
∴ 直線的方程為，即，…………………8分
由（1）知橢圓的另一個焦點為，設與關于直線對稱，………9分
則得                    …………………10分
解得，即                    …………………11分
又滿足，故點在拋物線上.  …………………13分
所以拋物線上存在一點，使得與關于直線對稱.……………14分
點評：圓錐曲線的定義是重要的解題工具要引起足夠重視，利用它解題很多時候起到化繁為簡，另辟捷徑的作用.解本小題的第二問要掌握點關于直線的對稱點的求法.