Question

【題目】已知點(diǎn)A是橢圓的上頂點(diǎn)，斜率為的直線交橢圓E于A、M兩點(diǎn)，點(diǎn)N在橢圓E上，且.

（1）當(dāng)時(shí)，求的面積；

（2）當(dāng)時(shí)，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）由題意可知點(diǎn)M、N的縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，且，設(shè)點(diǎn)，代入橢圓方程求出，利用三角形的面積公式即可求解.

（2）將直線與橢圓聯(lián)立，求出、，由可得，，令，利用導(dǎo)函數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再利用零點(diǎn)存在性定理即可判斷出的取值范圍.

（1）由對(duì)稱性知點(diǎn)M、N的縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，且，

于是可以設(shè)點(diǎn)其中，于是，解得，

所以；

（2）據(jù)題意，直線，聯(lián)立橢圓E，

得：，即：，

則，那么，

同理，知：，

由，得：，即：，

令，則，

所以單調(diào)增，又，，

故存在唯一零點(diǎn)，即.