Question

已知數列{}中, ,前項和為,且.

(1)求；

(2)求證:數列為等差數列,并寫出其通項公式;

(3)設,試問是否存在正整數其中（),使成等比數列?若存在,求出所有滿足條件的數組;若不存在,說明理由.

Answer 1

解:(1)令n=1,則==0 ;        ; …………………………2分

(2)由,即,   ①      得  .   ②

②-①,得  .                    ③  

于是,.                  ④

③+④,得,即 

又a₁=0,a₂=1,a₂-a₁=1,          

所以,數列{a_n}是以0為首項,1為公差的等差數列.

所以,a_n=n-1                                         …………………………10分

法二②-①,得  .                    ③ 

于是,  

        所以,.                   

(3)假設存在正整數數組(p,q),使b₁,b_p,b_q成等比數列,

則lgb₁,lgb_p,lgb_q成等差數列,  

于是, 

所以,(☆).易知(p,q)=(2,3)為方程(☆)的一組解 

當p≥3,且p∈N*時,<0,

故數列{}(p≥3)為遞減數列         

于是≤<0,所以此時方程(☆)無正整數解  

綜上,存在唯一正整數數對(p,q)=(2,3),使b₁,b_p,b_q成等比數列  …………………………16分