Question

已知數(shù)列{a_n}中，a1=

2

3

，a2=

8

9

，當(dāng)n≥2時(shí)，3a_n+1=4a_n-a_n-1 （n∈N^*）
（1）證明：{a_n+1-a_n}為等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）數(shù)列{a_n}中a1=

2

3

，a2=

8

9

．當(dāng)n≥2時(shí)3a_n+1=4a_n-a_n-1．（n∈N^*），由此能夠證明{a_n+1-a_n}是等比數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an+1-an=

2

9

(

1

3

)n-1，由此利用累加法能夠求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答：（Ⅰ）證明：∵數(shù)列{a_n}中，a1=

2

3

，a2=

8

9

．
當(dāng)n≥2時(shí)3a_n+1=4a_n-a_n-1．（n∈N^*）
∴當(dāng)n≥2時(shí)3a_n+1-3a_n=a_n-a_n-1，
即an+1-an=

1

3

(an-an-1)．
所以{a_n+1-a_n}是以a2-a1=

2

9

為首項(xiàng)，以

1

3

為公比的等比數(shù)列．…（6分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知an+1-an=

2

9

(

1

3

)n-1，
故an-an-1=

2

9

(

1

3

)n-2，
an-1-an-2=

2

9

(

1

3

)n-3，
…
a2-a1=

2

9

(

1

3

)0，
累加得an-a1=

1

3

-(

1

3

)n，
所以an=1-(

1

3

)n．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意累加法的合理運(yùn)用，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．