Question

【題目】如圖，四邊形是邊長為2的菱形，，，都垂直于平面，且.

（1）證明：平面；

（2）若，求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）法一由，利用線面平行的判定定理，得到面，同理面，再由面面平行的判定定理得到面面即可.

（2）法一：連接，交于點，利用線面垂直的判定定理易得面，面，面，∴，又，，四邊形為矩形，利用等體積法求解.

（1）法一∵，面，面，

∴面，

∵平面，平面，∴，

又面，面，∴面，

∵，∴面面，

又面，∴面.

法二：取中點，連接，，

∵平面，平面，

∴，∴四邊形為平行四邊形，

∴，∴四邊形為平行四邊形，

∴.

∵平面，平面，∴，∴，，，四點共面.

∴面.

又面，∴面.

（2）法一：連接，交于點，

∵面，面，∴.

又，，

∴面.

在等邊中，，，

∵面，面，

∴，又，.

∴四邊形為矩形，

∴.

∴.

法二：∵面，面，∴，

又面，面，

∴面.

取中點，連接，

∵面，面，∴，

在等邊中，，

又，∴面，

∴到面的距離即為.

又，

∴.