Question

【題目】已知橢圓，點F為拋物線的焦點，焦點F到直線3x-4y+3=0的距離為d1，焦點F到拋物線C的準線的距離為d2，且。

(1)拋物線C的標準方程;

(2)若在x軸上存在點M，過點M的直線l分別與拋物線C相交于P、Q兩點，且為定值，求點M的坐標.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據點到直線的距離公式以及拋物線的性質可求得和，再結合解出即可得拋物線的方程；（2）設點的坐標為，設點，的坐標分別為，，設直線的方程為，與拋物線方程聯立可得， ，把根與系數的關系代入可得，由其為定值可得，即得結果.

代入同理可得結論．

（1）由題意知，焦點的坐標為，則，，

又，解得：.故拋物線的標準方程為.

（2）設點的坐標為，設點，的坐標分別為，，

顯然直線的斜率不為0.設直線的方程為.

聯立方程消去，并整理得，

則且，.

由，.

有.

若為定值，必有.

所以當為定值時，點的坐標為.