Question

【題目】已知函數f（x）=x2﹣ax﹣2a2（x∈R）．
（1）關于x的不等式f（x）＜0的解集為A，且A[﹣1，2]，求a的取值范圍；
（2）是否存在實數a，使得當x∈R時， 成立．若存在給出證明，若不存在說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：若關于x的不等式f（x）＜0的解集A≠Φ，則△＞0，即a≠0；

當a＞0時．不等式解集A為（﹣a，2a）；

由題意可知： ∴a≥1；

當a＜0時，不等式解集A為（2a，﹣a）；

由題意可知： ∴a≤﹣2；

綜上所述：a∈（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）；

（2）解：∵ ；

所以有： ；

解得： a=0；

證明：當a=0時，f（x）=x2 ∴f（|x|）﹣f（x）=|x|2﹣x2=0；

又∵|f（x）|﹣f（x）=|x2|﹣x2=0；

所以：當a=0時，條件成立

【解析】（1）直接利用集合與集合之間的關系，分類討論參數a寫出不等式，求出a的取值范圍；（2）由題意列出等式，得到f（﹣x）=f（x）且f（x）≥0成立，從而求出a的值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的性質的相關知識，掌握當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減．