Question

（2010•吉安二模）已知函數(shù)f(x)=-

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x3+bx+cx+bc(b、c∈R，且b≠0），求曲線y=f（x）上斜率為c的切線與該曲線的公共點．

Answer 1

分析：由導函數(shù)的幾何意義可知函數(shù)圖象在切點處的切線的斜率值即為其點的導函數(shù)值，解得x₀=0或x₀=2b再對x的值進行分類討論：①當x₀=0，②當x₀=2b，分別求得公共點的坐標，最后綜合即可．

解答：解：設曲線y=f（x）在x=x₀處的切線的斜率為c

∵f′(x)=-x2+2bx+c ∴- x 2 0 +2bx0+c=c

解得x₀=0或x₀=2b…（2分）
①當x₀=0，則f（0）=bc得切點為（0，bc），切線方程為y=cx+bc
若-

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3

x3+bx2+cx+bc=cx+bc…（4分）

?x3-2bx2=0解得x1=x2=0， x3=3b則此時切線y=cx+bc

與曲線y=f（x）的公共點為（0，bc），（3b，4bc）…（6分）
②當x₀=2b，則f（2b）=

4

3

b3+2bc，
得切點為(2b，

4

3

b3+2bc)，切線方程為y=cx+bc+

4

3

b3
若-

1

3

x3+bx2+cx+bc=cx+bc+

4

3

b3…（8分）

?x3-2bx2+4b3=0解得x1=x2=2b， x3=-b，則此時y=cx+bc+ 4 3 b3與曲線

y=f(x)的公共點為(2b，

4

3

b3+3bc)，(-b，

4

3

b3)…（11分）
綜合上述，當b≠0時，斜率為c的切線與曲線y=f（x）有兩個不同的公共點，
分別為(0，bc)和(3b，4bc)，或(2b，

4

3

b3+2bc)和(-b，

4

3

b3)…（12分）

點評：本題考查了導數(shù)的幾何意義，以及直線的方程等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．