Question

在平面直角坐標系xOy中，已知圓x²＋y²－12x＋32＝0的圓心為Q，過點P(0,2)且斜率為k的直線l與圓Q相交于不同的兩點A，B.
(1)求圓Q的面積；
(2)求k的取值范圍；
(3)是否存在常數k，使得向量＋與共線？如果存在，求k的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

(1)4π. (2) (3)沒有符合題意的常數k

(1)圓的方程可化為(x－6)²＋y²＝4，可得圓心為Q(6，0)，半徑為2，故圓的面積為4π.
(2)設直線l的方程為y＝kx＋2.直線l與圓(x－6)²＋y²＝4交于兩個不同的點A，B等價于＜2，化簡得(－8k²－6k)＞0，解得－＜k＜0，即k的取值范圍為.
(3)設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，則＋＝(x₁＋x₂，y₁＋y₂)，由
得(k²＋1)x²＋4(k－3)x＋36＝0，
解此方程得x_1,2＝.
則x₁＋x₂＝－，①
又y₁＋y₂＝k(x₁＋x₂)＋4.②
而P(0,2)，Q(6,0)，＝(6，－2)．
所以＋與共線等價于－2(x₁＋x₂)＝6(y₁＋y₂)，將①②代入上式，解得k＝－.由(2)知k∈，故沒有符合題意的常數k