Question

橢圓：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），左右焦點分別是F₁，F₂，焦距為2c，若直線y=

3

(x+c)與橢圓交于M點，滿足∠MF₁F₂=2∠MF₂F₁，則離心率是（　　）

A． 2 2

B． 3 -1

C． 3 -1 2

D． 3 2

Answer 1

∵橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），作圖如右圖：
∵橢圓的焦距為2c，
∴直線y=

3

（x+c）經過橢圓的左焦點F₁（-c，0），又直線y=

3

（x+c）與橢圓交于M點，
∴傾斜角∠MF₁F₂=60°，又∠MF₁F₂=2∠MF₂F₁，
∴∠MF₂F₁=30°，
∴∠F₁MF₂=90°．
設|MF₁|=x，則|MF₂|=

3

x，|F₁F₂|=2c=2x，故x=c．
∴|MF₁|+|MF₂|=（

3

+1）x=（

3

+1）c，
又|MF₁|+|MF₂|=2a，
∴2a=（

3

+1）c，
∴該橢圓的離心率e=

c

a

=

2

3 +1

=

3

-1．
故選：B．