Question

橢圓:的左頂點(diǎn)為,直線交橢圓于兩點(diǎn)(上下),動(dòng)點(diǎn)和定點(diǎn)都在橢圓上.
(1)求橢圓方程及四邊形的面積.
(2)若四邊形為梯形,求點(diǎn)的坐標(biāo).
(3)若為實(shí)數(shù),,求的最大值.

Answer 1

(1)；.(2). (3).

解析試題分析：（1）將D的坐標(biāo)代入即得，從而得橢圓的方程為.
將代入得.由此可得和的面積，二者相加即得四邊形的面積.（2）在橢圓中AP不可能平行BC，四邊形ABCP又為梯形，所以必有，由此可得直線PC的方程，從而求得點(diǎn)P的坐標(biāo).（3）設(shè)，由得則與間的關(guān)系，即，又因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，所以，由此可得，這樣利用三角函數(shù)的范圍便可求得的最大值.
（1）因?yàn)辄c(diǎn)D在橢圓上，所以，
所以橢圓的方程為.
易得：，的面積為.
直線BD的方程為，即.所以點(diǎn)A到BD的距離為，，.
所以.
（2）四邊形ABCP為梯形，所以，直線PC的方程為：
即.代入橢圓方程得（舍），
將代入得.所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為.
（3）設(shè)，則，即
因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，所以，
由此可得，
所以.
考點(diǎn)：1、橢圓的方程；2、四邊形的面積；3、向量.