Question

已知圓的方程為，定直線的方程為．動圓與圓外切，且與直線相切．
（1）求動圓圓心的軌跡的方程；
（2）直線與軌跡相切于第一象限的點, 過點作直線的垂線恰好經過點，并交軌跡于異于點的點，求直線的方程及的長.

Answer 1

（1）；（2）直線PQ的方程：x+y-6=0，|PQ|=.

解析試題分析：(1)設圓心C的坐標為(x,y),根據題意可以得到關于x，y的方程組，消去參數以后即可得到x，y所滿足的關系式，即圓心C的軌跡M的方程；(2)設點P的坐標為，根據題意可以把l’用含x₀的代數式表示出來，由經過點A(0,6)可以求得點P的坐標與l’的方程，再聯立(1)中M的軌跡方程，即可求出Q的坐標，從而得到|PQ|d的長.
（1）設動圓圓心C的坐標為(x,y)，動圓半徑為R，則 ，且
|y+1|=R    2分，可得．
由于圓C₁在直線l的上方，所以動圓C的圓心C應該在直線l的上方，所以有y+1>0，從而得，整理得，即為動圓圓心C的軌跡M的方程．         5分
（2）如圖示，設點P的坐標為，則切線的斜率為，可得直線PQ的斜率為，所以直線PQ的方程為．由于該直線經過點A（0,6），所以有，得．因為點P在第一象限，所以，點P坐標為（4,2），直線PQ的方程為x+y-6=0．      9分
把直線PQ的方程與軌跡M的方程聯立得，解得x=-12或4
       12分