Question

【題目】已知是定義在上的奇函數，且，若且時，有成立．

（1）判斷在上的單調性，并用定義證明；

（2）解不等式；

（3）若對所有的恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）或或

【解析】

（1）利用函數單調性的定義，奇函數的性質，結合，判斷在上的單調遞增;

(2) 根據（1）的結論，以及函數的定義域，列出不等式組,求出x的范圍;

（3）根據（1）的結論和條件，將問題轉化為m2-2am+1≥1，即m2-2am≥0對a∈[-1，1]恒成立，構造函數g（a）= -2ma+m2，進而求得m的取值范圍.

任取x1，x2∈[－1,1]且x1<x2，則－x2∈[－1,1]，

∵f(x)為奇函數，∴f(－x2)= -f(x2),

∴f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)=

由已知得>0，<0,

∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴f(x)在[－1,1]上單調遞增．

(2)∵f(x)在[－1,1]上單調遞增，∴ ，解得

(3)∵f(1)＝1，f(x)在[－1,1]上單調遞增，∴在[－1,1]上，f(x)≤1.

問題轉化為m2－2am＋1≥1，即m2－2am≥0，對a∈[－1,1]恒成立．

設g(a)＝－2m·a＋m2.

①若m＝0，則g(a)＝0≥0，對a∈[－1,1]恒成立．

②若m≠0，則g(a)為a的一次函數，若g(a)≥0，對a∈[－1,1]恒成立，必須g(－1)≥0，且g(1)≥0，∴m≤－2或m≥2.

∴m的取值范圍是m＝0或m≤－2或m≥2.