Question

在△ABC中，已知a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且2cosBcosC（1-tanBtanC）=1．
（1）求角A的大小；
（2）若a=2

7

，△ABC的面積為2

3

，求b+c的值．

Answer 1

考點：正弦定理,余弦定理

專題：三角函數的求值

分析：（1）已知等式括號中第二項利用同角三角函數間基本關系切化弦后，整理求出cos（B+C）的值，進而求出cosA的值，確定出A的度數；
（2）利用三角形面積公式表示出三角形ABC面積，將已知面積與sinA的值代入求出bc的值，再利用余弦定理列出關系式，利用完全平方公式變形，將a，bc，以及cosA的值代入，開方即可求出b+c的值．

解答： 解：（1）∵2cosBcosC（1-tanBtanC）=2cosBcosC（1-

sinBsinC

cosBcosC

）=1，
∴2（cosBcosC-sinBsinC）=1，即cos（B+C）=

1

2

，
∵B+C=π-A，
∴cosA=-

1

2

，
∵A為三角形內角，
∴A=

2π

3

；
（2）∵sinA=

3

2

，S=2

3

，
∴

1

2

bcsinA=2

3

，即

3

4

bc=2

3

，
∴bc=8，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²+bc=（b+c）²-bc，
將a=2

7

，bc=8代入得：（b+c）²=36，
解得：b+c=6．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．