Question

【題目】已知函數f（x）= （a＞0）．
（1）證明函數f（x）在（0，2]上是減函數，（2，+∞）上是增函數；
（2）若方程f（x）=0有且只有一個實數根，判斷函數g（x）=f（x）﹣4的奇偶性；
（3）在（2）的條件下探求方程f（x）=m（m≥8）的根的個數．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由題意：f（x）=x+ +a，

∴f′（x）= ，

∴0＜x＜2時，f′（x）＜0，x＞2時，f′（x）＞0，

∴函數f（x）在（0，2]上是減函數，（2，+∞）上是增函數

（2）解：由題意知方程x2+ax+4=0有且只有一個實數根

∴△=a2﹣16=0，

又a＞0，∴a=4．

此時f（x）=x+ +4，g（x）=x+ ，

又g（x）的定義域為（﹣∞，0）∪（0，+∞）關于原點對稱，

且g（﹣x）=﹣x﹣ =﹣g（x），

∴g（x）是奇函數

（3）解：由（2）知f（x）=m可化為x+ =m﹣4（m≥8）

又由（1）（2）知：

當m﹣4=4 即m=8時f（x）=m只有一解

當m﹣4＞4即m＞8時f（x）=m有兩解

綜上，當m=8時f（x）=m只有一解；當m＞8時f（x）=m有兩解

【解析】（1）利用導數的正負，即可證明；（2）求出g（x）=x+ ，又g（x）的定義域為（﹣∞，0）∪（0，+∞）關于原點對稱，利用奇函數的定義進行判斷；（3）由（2）知f（x）=m可化為x+ =m﹣4（m≥8），再分類討論，即可得出結論．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解奇偶性與單調性的綜合的相關知識，掌握奇函數在關于原點對稱的區間上有相同的單調性；偶函數在關于原點對稱的區間上有相反的單調性．