Question

【題目】已知橢圓C:（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1（－，0）、F2（，0）.點(diǎn)M（1，0）與橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)的連線相互垂直.

（1）求橢圓C的方程；

（2）已知點(diǎn)N的坐標(biāo)為（3，2），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n）（m≠3）.過(guò)點(diǎn)M任作直線l與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)直線AN、NP、BN的斜率分別為k1、k2、k3，若k1＋k3＝2k2，試求m，n滿(mǎn)足的關(guān)系式.

Answer 1

【答案】（1）；（2）m－n－1＝0

【解析】

試題（1）利用M與短軸端點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形，可求得b的值，進(jìn)而得到橢圓方程；（2）設(shè)出過(guò)M的直線l的方程，將l與橢圓C聯(lián)立，得到兩交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，然后將k1＋k3表示為直線l斜率的關(guān)系式，化簡(jiǎn)后得k1＋k3＝2，于是可得m，n的關(guān)系式.

試題解析：（1）由題意，c＝，b＝1，所以a＝

故橢圓C的方程為

（2）①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，方程為x＝1，代入橢圓得，y＝±

不妨設(shè)A（1，），B（1，－）

因?yàn)?/span>k1＋k3＝＝2

又k1＋k3＝2k2，所以k2＝1

所以m，n的關(guān)系式為＝1，即m－n－1＝0

②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為y＝k（x－1）

將y＝k（x－1）代入，

整理得：（3k2＋1）x2－6k2x＋3k2－3＝0

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則

又y1＝k（x1－1），y2＝k（x2－1）

所以k1＋k3＝

＝

＝

＝

＝＝2

所以2k2＝2，所以k2＝＝1

所以m，n的關(guān)系式為m－n－1＝0

綜上所述，m，n的關(guān)系式為m－n－1＝0.