Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若關(guān)于的方程在區(qū)間上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) m的取值范圍是;(2)實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

【解析】試題分析：（1）即求函數(shù)在區(qū)間上值域，先求導(dǎo)數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，列表分析導(dǎo)數(shù)符號(hào)變化規(guī)律，確定單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)單調(diào)性求值域，（2）先參變分離，轉(zhuǎn)化為求對(duì)應(yīng)函數(shù)最值：的最小值，利用二次求導(dǎo)可得函數(shù)單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性確定其最小值取法，最后根據(jù)最小值得實(shí)數(shù)的取值范圍.

試題解析：（1）方程即為.

令，則.

令，則（舍），.

當(dāng)x∈[1， 3]時(shí)，隨x變化情況如表:

x	1				3
		＋	0	－
			極大值

∴當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，.

∴m的取值范圍是.

（2）據(jù)題意，得對(duì)恒成立.

令，

則.

令，則當(dāng)x＞0時(shí)，，

∴函數(shù)在上遞增.

∵，

∴存在唯一的零點(diǎn)c∈（0，1），且當(dāng)x∈（0，c）時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

.

∴當(dāng)x∈（0，c）時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

∴在（0，c）上遞減，在上遞增，從而.

由得，即，兩邊取對(duì)數(shù)得，

∴.

∴，即所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是.