Question

【題目】已知函數（，且）.

（1）求函數的極值點；

（2）當時，證明：.

Answer 1

【答案】（1）當時，函數的極小值點為，無極大值點；當時，函數的極小值點為，無極大值點．（2）見解析

【解析】

（1）根據導函數分類討論函數的單調區間即可得到極值點；

（2）結合（1）得出的單調性可得，構造函數求出最小值即可得證.

（1）函數的定義域為.

，

①當時，令，得；令，得，

故在上單調遞減，在上單調遞增，函數的極小值點為.

②當時，令，得；令，得，

故在上單調遞減，在上單調遞增，函數的極小值點為.

所以當時，函數的極小值點為，無極大值點；當時，函數的極小值點為，無極大值點．

（2）證明：當時，由（1）得，在上單調遞減，在上單調遞增，

所以，

所以，

令（），則（），

，

當時，；當時，，

所以（）在上單調遞減，在上單調遞增，

故，

所以當時，.