Question

【題目】設函數。

（1）若時，函數取得極值，求函數的圖像在處的切線方程；

（2）若函數在區間內不單調，求實數的取值范圍。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）切線方程為；（Ⅱ）．

【解析】

試題分析：(1)求出導函數, 由f′(1)＝0得a＝－2,求出f(x)的解析式,將x＝－1代入f(x)求出切點坐標,將x＝－1代入導函數求出切線的斜率,由點斜式求出切線的方程.

(2)函數不單調,即函數在區間(，1)有極值,即導函數在區間上有解,令導函數為0,分離出a,求出a的范圍.

試題解析：(Ⅰ)f′(x)＝3x2＋2ax＋1由f′(1)＝0得a＝－2

∴f(x)＝x3－2x2＋x＋1，當x＝－1時，y＝－3即切點(－1，－3)

k＝f′(x0)＝3－4x0＋1，令x0＝－1得k＝8，

∴切線方程為8x－y＋5＝0

(Ⅱ)f(x)在區間(，1)內不單調 ，即f′(x)＝0在(，1)有解

∴3x2＋2ax＋1＝0,2ax＝－3x2－1由x∈(，1)，∴2a＝－3x－

令h(x)＝－3x－

∴h′(x)＝－3＋<0知h(x)在(，1)單調遞減，在(，]單調遞增

∴h(1)<h(x)≤h()即h(x)∈(－4，－2]，

∴－4<2a≤－2即－2<a≤－

而當a＝－，時，f′(x)＝3x2－2x＋1＝(x－1)2≥0

∴舍去，

綜上a∈(－2，－).