Question

【題目】已知函數f（x）=x2﹣mx+m，m、x∈R．
（1）若關于x的不等式f（x）＞0的解集為R，求m的取值范圍；
（2）若實x1 ， x2數滿足x1＜x2 ， 且f（x1）≠f（x2），證明：方程f（x）= [f（x1）+f（x2）]至少有一個實根x0∈（x1 ， x2）；
（3）設F（x）=f（x）+1﹣m﹣m2 ， 且|F（x）|在[0，1]上單調遞增，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）＞0的解集為R，

∴判別式△=m2﹣4m＜0，得0＜m＜4．

（2）解：證明：令g（x）=f（x）﹣ [f（x1）+f（x2）]，

易知g（x）在其定義域內連續，

且g（x1）g（x2）={f（x1）﹣ [f（x1）+f（x2）]}{f（x2）﹣ [f（x1）+f（x2）]}

=﹣ [f（x1）﹣f（x2）]2＜0，

則g（x）=f（x）﹣ [f（x1）+f（x2）]在（x1，x2）上有零點，

即方程f（x）= [f（x1）+f（x2）]至少有一個實根x0∈（x1，x2）；

（3）解：F（x）=f（x）+1﹣m﹣m2=x2﹣mx+1﹣m2，

△=m2﹣4（1﹣m2）=5m2﹣4，函數的對稱軸為x= ，

①當△=0時，5m2﹣4=0，即m=± ，

若m= ，則對稱軸為x= ∈[0，1]，則在[0，1]上不單調遞增，不滿足條件．

若m=﹣ ，則對稱軸為x=﹣ ＜0，則在[0，1]上單調遞增，滿足條件．

②當△＜0時，﹣ ＜m＜ ，此時f（x）＞0恒成立，若|F（x）|在[0，1]上單調遞增，

則x= ≤0，即m≤0，此時，﹣ ＜m≤0．

③當△＞0，m＜﹣ 或m＞ ，對稱軸為x= ．

當m＜﹣ 時，對稱軸為x=﹣ ＜0，要使|F（x）|在[0，1]上單調遞增，

則只需要F（0）≥0即可，此時F（0）=1﹣m2≥0，得﹣1≤m1，

此時﹣1≤m＜﹣ ．

若m＞ ，對稱軸為x＞ ，則要使|F（x）|在[0，1]上單調遞增，

此時F（0）=1﹣m2＞0，只需要對稱軸 ≥1，所以m≥2．

此時m≥2，

綜上﹣1≤m≤0或m≥2．

【解析】（1）若關于x的不等式f（x）＞0的解集為R，轉化為別式△=m2﹣4m＜0進行求解決即可．（2）令g（x）=f（x）﹣ [f（x1）+f（x2）]，從而利用函數零點的判定定理可得g（x）=f（x）﹣ [f（x1）+f（x2）]在（x1 ， x2）上有零點，從而證明方程f（x）= [f（x1）+f（x2）]至少有一個實根x0∈（x1 ， x2）；（3）化簡F（x）=f（x）+1﹣m﹣m2=x2﹣mx+1﹣m2 ， 從而轉化|F（x）|在[0，1]上單調遞增，分判別式大于或等于0以及判別式小于0兩種情況討論，然后結合二次函數的性質進行求解即可．
【考點精析】通過靈活運用二次函數的性質，掌握當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減即可以解答此題．