Question

【題目】在極坐標系中，曲線C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）= ， C與l有且僅有一個公共點．
（Ⅰ）求a；
（Ⅱ）O為極點，A，B為C上的兩點，且∠AOB= ， 求|OA|+|OB|的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）曲線C：ρ=2acosθ（a＞0），變形ρ2=2ρacosθ，化為x2+y2=2ax，即（x﹣a）2+y2=a2 ．
∴曲線C是以（a，0）為圓心，以a為半徑的圓；
由l：ρcos（θ﹣）=，展開為，
∴l的直角坐標方程為x+y﹣3=0．
由直線l與圓C相切可得=a，解得a=1．
（Ⅱ）不妨設A的極角為θ，B的極角為θ+，
則|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+）
=3cosθ﹣sinθ=2cos（θ+），
當θ=﹣時，|OA|+|OB|取得最大值2．
【解析】（I）把圓與直線的極坐標方程分別化為直角坐標方程，利用直線與圓相切的性質即可得出a；
（II）不妨設A的極角為θ，B的極角為θ+ ， 則|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+）=2cos（θ+），利用三角函數的單調性即可得出．