Question

已知命題p：對?x∈R，函數y=lg（2^x-m+1）有意義；命題q：指數函數f（x）=（5-2m）^x增函數．
（I）寫出命題p的否定；
（II）若“p∧q”為真，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）根據全稱命題的否定為特稱命題可的原命題的否定．
（II）由已知若p為真，則2^x-m+1＞0，對x∈R恒成立，根據指數函數的性質，可求出命題P為真時實數m的取值范圍；進而根據指數函數的單調性與底數的關系，可以求出命題q為真時實數m的取值范圍；結合若“p∧q”為真，則p、q均為真，可求實數m的取值范圍．

解答：解：（I）命題p的否定是：?x∈R，命函數y=lg（2^x-m+1）無意義．…（4分）
（II）若“p∧q”為真，則p、q均為真．…（5分）
若p為真，則2^x-m+1＞0，對x∈R恒成立，…（6分）
即2^x＞m-1，對x∈R恒成立，
∵對x∈R，2^x＞0，∴m-1≤0，∴m≤1．①…（9分）
若q為真，則5-2m＞1，∴m＜2．②…（11分）
由①，②可得實數m的取值范圍為m≤1．…（12分）

點評：本題主要考查了全稱命題與特稱命題的關系的應用，考查指數函數和對數函數的性質，其中求出命題P為真和命題q為真時實數a的取值范圍是解答的關鍵，屬于基礎試題．