Question

【題目】設(shè)， ，令， ， .

（1）寫出， ， 的值，并猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】(1)a1＝1，a2＝，a3＝；a4＝，猜想an＝ （n∈N+）；(2)證明見解析.

【解析】試題分析：

（1）由題意結(jié)合函數(shù)的解析式計(jì)算可得a2＝f（a1）＝，a3＝f（a2）＝；a4＝f（a3）＝，猜想an＝ （n∈N+）；

（2）首先證明n＝1時(shí)，猜想正確. 然后假設(shè)n＝k時(shí)猜想正確，即ak＝，證明n＝k＋1時(shí)猜想正確即可證得題中的結(jié)論.

試題解析：

（1）∵a1＝1，

∴a2＝f（a1）＝f（1）＝，

a3＝f（a2）＝；a4＝f（a3）＝，

猜想an＝ （n∈N+）；

（2）證明：①易知，n＝1時(shí)，猜想正確.

②假設(shè)n＝k時(shí)猜想正確，即ak＝，

則ak＋1＝f（ak）＝=.

這說明n＝k＋1時(shí)猜想正確.

由①②知，對(duì)于任何n∈N+，都有an＝.