Question

【題目】如圖，某植物園內有一塊圓形區域，在其內接四邊形內種植了兩種花卉，其中區域內種植蘭花，區域內種植丁香花，對角線BD是一條觀賞小道．測量可知邊界，， ．

（1）求觀賞小道BD的長及種植區域的面積；

（2）因地理條件限制，種植丁香花的邊界BC，CD不能變更，而邊界AB，AD可以調整，使得種植蘭花的面積有所增加，請在BAD上設計一點P，使得種植區域改造后的新區域（四邊形）的面積最大，并求出這個面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1），面積為；（2）當為等邊三角形時，新區域的面積最大，最大值為．

【解析】

（1）設，利用余弦定理和圓的內接四邊形對角互補，建立方程求解即可；

（2）利用同弧所對的圓周角相等，得，設，，則，接著利用余弦定理和基本不等式可求最大值.

（1）設，則由余弦定理得，

．

由四邊形是圓內接四邊形得，

故，即，

解得（負值舍去），即．

從而，所以，，

故．

答：觀賞小道BD的長為，種植區域的面積為．

（2）由（1）及“同弧所對的圓周角相等”得．

設，，

則．

在中，由余弦定理有

，

故（當且僅當時等號成立）．

而，

因此，種植區域改造后的新區域的面積的最大值為．

答：當為等邊三角形時，新區域的面積最大，最大值為．