Question

【題目】如圖，在三棱柱中，，，．

（Ⅰ）證明：點在底面上的射影必在直線上；

（Ⅱ）若二面角的大小為，，求與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）利用面面垂直的判定定理與性質定理證明；

（Ⅱ）以，，分別為，，軸建立空間直角坐標系．利用向量法求解可得結果．

（Ⅰ）證明：連接，如圖：

因為，，，

所以平面

所以平面平面．

過點作，

則由面面垂直的性質定理可知平面．

又平面，所以與重合，

所以點在底面上的射影必在直線上．

（Ⅱ）由，，得是二面角的平面角，即．

在平面內，過點作，以，，分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標系．

在中，由，，得，

所以，

又，所以是邊長為2的等邊三角形，

則，，，，

所以．

由，，

設平面的法向量為，

則，即，所以，

取，則

所以平面的一個法向量為．

設與平面所成角為，

故．