Question

【題目】設雙曲線的左、右焦點分別為F1，F2，過點F2的直線分別交雙曲線左、右兩支于點P，Q，點M為線段PQ的中點，若P，Q，F1都在以M為圓心的圓上，且，則雙曲線C的離心率為（ ）

A.B.2C.D.2

Answer 1

【答案】C

【解析】

判斷PQ⊥MF1，則|PF1|＝QF1|，說明三角形PF1Q是等腰直角三角形，設|PF1|＝t，利用雙曲線的定義求出|PF2|，在Rt△MF1F2中，結合勾股定理推出2a＝2c，即可求解雙曲線C的離心率．

以PQ為直徑的圓經過點F1，則，又，

可知PQ⊥MF1，則|PF1|＝|QF1|，故三角形PF1Q是等腰直角三角形，

設|PF1|＝t，則|PQ|t，

由雙曲線的定義可知：|PF2|＝t+2a，|QF2|＝t﹣2a，可得|PQ|＝4a，

則t＝4a，即t＝2a，則：|PF2|，

在Rt△MF1F2中，|MF1|2a，|MF2|＝|PF1|﹣|PM|＝2a，

由勾股定理可知|F1F2|＝2a＝2c，

則雙曲線C的離心率為：e．

故選：C．