Question

8．設函數f（x）=2x³+ax²+bx+1，若其導函數y=f'（x）的圖象關于直線$x=-\frac{1}{2}$對稱，且x=1是f（x）的一個極值點．
（1）求實數a，b的值；   
（2）若方程f（x）-k=0有3個實數根，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）清楚函數的導數，利用導函數的對稱性以及極值點，列出方程組求解即可．
（2）化簡函數求出導函數，求出極值點，求出合適的極值，然后求解即可．

解答 解：（1）因f（x）=2x³+ax²+bx+1，故f'（x）=6x²+2ax+b，           （1分）
因為導函數y=f'（x）的圖象關于直線$x=-\frac{1}{2}$對稱，且x=1是f（x）的一個極值點．
∴$\left\{\begin{array}{l}-\frac{2a}{12}=-\frac{1}{2}\\ 6+2a+b=0\end{array}\right.$     （4分）   
 解得$\left\{\begin{array}{l}a=3\\ b=-12\end{array}\right.$，經檢驗符合題意       （5分）
（2）由（1）知f（x）=2x³+3x²-12x+1，
令f'（x）=6x²+6x-12=0，解得x₁=-2，x₂=1，               （7分）

x	（-∞，-2）	-2	（-2，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調遞增	21	單調遞減	-6	單調遞增

從而函數f（x）在x₁=-2處取得極大值為21，在x₂=1處取得極小值為-6，       （10分）
因為方程f（x）-k=0有3個實數根，即函數y=f（x）圖象與y=k的圖象有3個交點，
∴-6＜k＜21，即實數k的取值范圍是（-6，21）．                （12分）

點評 本題考查函數的導數的應用，函數的極值以及函數的單調性的判斷，考查分析問題解決問題的能力．