Question

【題目】已知函數f（x）=x3+ax2+bx（其中常數a，b∈R），g（x）=f（x）﹣f′（x）是奇函數，
（1）求f（x）的表達式；
（2）求g（x）在[1，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=x3+ax2+bx（其中常數a，b∈R），

∴f′（x）=3x2+2ax+b，

∴g（x）=f（x）﹣f′（x）=x3+ax2+bx﹣3x2﹣2ax﹣b，

∵g（x）=f（x）﹣f′（x）是奇函數，

∴a﹣3=0，b=0，

∴f（x）=x3+3x2

（2）解：∵f′（x）=3x2+6x，x∈[1，3]

∴g（x）=x3﹣6x，

∴g′（x）=3x2﹣6，

令g′（x）=3x2﹣6=0，解得x= ，

當g′（x）＞0時，即 ＜x≤3，函數單調遞增，

當g′（x）＜0時，即1≤x＜ ，函數單調遞減，

∴g（x）min=g（ ）=2 ﹣6 =﹣4 ，

∵g（1）=1﹣6=﹣5，g（3）=27﹣18=9，

∴g（x）max=g（3）=9

【解析】（1）先求出導函數，再根據奇函數的性質即可求出a，b的值，問題得以解決，（2）根據導數在閉區間上的應用，即可求出最值．
【考點精析】關于本題考查的函數奇偶性的性質和函數的最大(小)值與導數，需要了解在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能得出正確答案．