【題目】已知函數
.
（1）當
時，求
的單調區間；
（2）求函數的極值；
（3）若函數有兩個零點，求a的范圍.
【答案】（1）單調遞增區間為
，單調遞減區間為
（2）答案不唯一，具體見解析（3）
【解析】
（1）當
時，求導得出
，令導函數大于0和小于0，即可求出
的單調區間；
（2）求導得
，
，分類討論當
和
時，利用導函數求出
的單調性，結合單調性可求出函數的極值；
（3）由（2）可知當時，在
上單調遞增，不可能有兩個零點；當時，函數有極大值
，令
，，
，求出
的單調區間和最小值
，則
根據題意討論當
和當
時存在另外一個零點，構造新函數
，通過新函數的單調性和最值，結合分類討論思想，即可求出函數有兩個零點時，求a的范圍.
（1）
，.
由
得
，由
得
.
所以的單調遞增區間為，單調遞減區間為.
（2），，
當時，，在上單調遞增，無極值；
當時，
，，在
上單調遞增；
，，在
上單調遞減；
函數有極大值，無極小值.
（3）由（2）可知當時，在上單調遞增，不可能有兩個零點；
當時，函數有極大值，
令，，，
，
，
在上單調遞減；
在上單調遞增；
函數
有最小值.
要使函數有兩個零點，必須滿足且
，
下面證明：且時，函數有兩個零點.
因為，所以下面證明還有另一個零點.
①當時，
，
，
令，
，
在上單調遞減，
，則
，
所以在
上有零點，又在上單調遞減，
所以在上有唯一零點，從而有兩個零點.
②當時，，
，
易證
，可得
，
所以在
上有零點，又在上單調遞減，
所以在在上有唯一零點，從而有兩個零點.
綜上，a的取值范圍是.
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某調查機構對全國互聯網行業進行調查統計，得到整個互聯網行業從業者年齡分布餅狀圖，90后從事互聯網行業崗位分布條形圖，則下列結論中不正確的是（ ）
注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之間出生，80前指1979年及以前出生.
A.互聯網行業從業人員中90后占一半以上
B.互聯網行業中從事技術崗位的人數超過總人數的
C.互聯網行業中從事運營崗位的人數90后比80前多
D.互聯網行業中從事技術崗位的人數90后比80后多
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設橢圓
的左、右焦點為
，
，右頂點為
，上頂點為
.已知
.
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）設
為橢圓上異于其頂點的一點，以線段
為直徑的圓經過點
，經過原點的直線
與該圓相切.求直線的斜率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的左、右焦點分別為F1，F2，過點F1的直線與C交于A，B兩點.△ABF2的周長為
，且橢圓的離心率為
.
（1）求橢圓C的標準方程：
（2）設點P為橢圓C的下頂點，直線PA，PB與y＝2分別交于點M，N，當|MN|最小時，求直線AB的方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在棱長為
的正方體
中，O是AC的中點，E是線段D1O上一點，且D1E＝λEO.
（1）若λ=1，求異面直線DE與CD1所成角的余弦值;
（2）若平面CDE⊥平面CD1O，求λ的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖1，等腰梯形ABCD中，
，
，
，O為BE中點，F為BC中點.將
沿BE折起到
的位置，如圖2.
（1）證明：
平面
；
（2）若平面
平面BCDE，求點F到平面
的距離.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某公司為評估兩套促銷活動方案（方案1運作費用為5元/件；方案2的運作費用為2元件），在某地區部分營銷網點進行試點（每個試點網點只采用一種促銷活動方案），運作一年后，對比該地區上一年度的銷售情況，制作相應的等高條形圖如圖所示.
（1）請根據等高條形圖提供的信息，為該公司今年選擇一套較為有利的促銷活動方案（不必說明理由）；
（2）已知該公司產品的成本為10元/件（未包括促銷活動運作費用），為制定本年度該地區的產品銷售價格，統計上一年度的8組售價
（單位：元/件，整數）和銷量
（單位：件）
如下表所示：
售價 | 33 | 35 | 37 | 39 | 41 | 43 | 45 | 47 |
銷量 | 840 | 800 | 740 | 695 | 640 | 580 | 525 | 460 |
①請根據下列數據計算相應的相關指數
，并根據計算結果，選擇合適的回歸模型進行擬合；
②根據所選回歸模型，分析售價
定為多少時？利潤
可以達到最大.
|
|
| |
| 52446.95 | 13142 | 122.89 |
| 124650 | ||
（附：相關指數
）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】棉花的優質率是以其纖維長度來街量的，纖維越長的棉花晶質越高.棉花的品質分類標準為:纖維長度小于等于
的為粗絨棉，纖維長度在
的為細絨棉，纖維長度大于
的為長絨棉，其中纖維長度在
以上的棉花又名“軍海1號”.某采購商從新疆某一棉花基地抽測了
根棉花的纖維長度，得到數據如下圖頻率分布表所示：
纖維長度 |
|
|
|
|
根數 |
|
|
|
|
（1）若將頻率作為概率， 根據以上數據，能否認為該基地的這批棉花符合“長絨棉占全部棉花的
以上”的要求？
（2）用樣本估計總體， 若這批榨花共有
,基地提出了兩種銷售方案給采購商參考.方案一：不分等級賣出，每千克按
元計算，方案二:對
棉花先分等級再銷售，分級后不同等級的棉花售價如下表：
纖維長度 |
|
|
|
|
售價 |
|
|
|
|
從來購商的角度，請你幫他決策一下該用哪個方案.
（3）用分層抽樣的方法從長絨棉中抽取6根棉花,再從此
根棉花中抽取兩根進行檢驗.求抽到的兩根棉花只有一根是“軍海1號”的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】[選修4-4：坐標系與參數方程]
在直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
（
是參數），以坐標原點為極點，
軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
.
（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程；
（2）設曲線經過伸縮變換
得到曲線
，
是曲線上任意一點，求點
到曲線的距離的最大值.
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