Question

【題目】在棱長為的正方體中，O是AC的中點，E是線段D1O上一點，且D1E＝λEO.

（1）若λ=1，求異面直線DE與CD1所成角的余弦值;

（2）若平面CDE⊥平面CD1O，求λ的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）λ＝2

【解析】分析：以為單位正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系，寫出各點的坐標，
（1）求出異面直線 與1的方向向量用數量積公式兩線夾角的余弦值（或補角的余弦值）
（2）求出兩個平面的法向量，由于兩個平面垂直，故它們的法向量的內積為0，由此方程求參數的值即可．

詳解：

(1)以為單位正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系．

則A(1，0，0)，，，D1(0，0，1)，

E，

于是，.

由cos＝＝.

所以異面直線AE與CD1所成角的余弦值為.

（2）設平面CD1O的向量為m=(x1，y1，z1)，由m·＝0，m·＝0

得 取x1＝1，得y1＝z1＝1，即m=(1，1，1) . ………8分

由D1E＝λEO，則E，=.10分

又設平面CDE的法向量為n＝(x2，y2，z2)，由n·＝0，n·＝0.

得 取x2=2，得z2＝－λ，即n＝(－2，0，λ) .12分

因為平面CDE⊥平面CD1F，所以m·n＝0，得 ．